אם הטענה שמובאת בידיעה הבאה נכונה, אני צריך להתחיל בסבב התנצלויות. דר' למדעי המחשב טוען כי ניתן לחלק אפס באפס, והוא נותן למונח את הביטוי Nullity. ההוכחה הפשוטה שלו היא על הדרך הבאה: אפס בחזקת אפס שווה לאפס בחזקת (אחד פחות אחד), שזה שווה לאפס בחזקת אחד כפול אפס בחזקת מינוס אחד; כל זה שווה בעצם לאפס לחלק לאחד כפול אחד לחלק לאפס, שזה שווה לנוליטי.
בתור בור יחסי במתמטיקה, אני עדיין גורס שדר' אנדרסן טועה, ניתן לראות בטוקבקים לא מעט 'מומחים' שמנסים להפריך את טענתו. אבל את ההפרכה האמיתית אשאיר למומחים.
אם באמת לא רק יאיר לפיד יוכל לחלק באפס, אז מין חסר משמעות יוכל להתקיים ואולי בעצם כן נוכל להגדיר מחדש את המדע, כמו שהיה בויכוח כאן בבלוג.
אבל האם החלוקה באפס אפשרית, תפישת המציאות שלנו עשויה להשתנות. חוקי הקניין, חוקי הטבע ואלמנט הזמן, כולם יבוטלו בסך הכל, לא? בעצם המצאת האפס היתה המהפכה הראשונה, תפיסה של חסר במספר. הן המספר אפס והן המספרים השליליים הינם דברים שקשה לתפוש וקשה לילדים להבין את משמעותם. אחת הסיבות היא שבאמת קשה לבצע פעולות מתמטיות עם אפס.
אבל מה עושה המדע כשמדען אחד מגיע ומנסה לשנות את הכל? האם פתאום נשכתב את כל ספרי הלימוד?
במידה והוא צודק, עשוי להיות כך. להערכתי, אולם, מתן שם לבעיה אינו פותר אותה.
Technorati Tags: divide by zero
אני תייגתי את בדלישס תחת math humor
או, סוף סוף נושא שאוכל לתרום בו מידיעותיי! :-)
אז ראשית, אני חושב שאתה יכול להרגע — מהפכה אין כאן. אם כל ה-peer review שלו מסתכם בלהראות את זה לחבורת ילדים בני 10, אני לא חושב שישנם דברים בגו.
שנית (ואת הדברים הללו אני אומר בלי שקראתי את המאמר שלו עצמו, רק את המאמר ב-BBC), מבחינה מתמטית גרידא ישנו מבנה אלגברי בשם שדה, והתכונות שמאפיינות שדה מסדירות את חוקי החיבור והכפל. המספרים הממשיים, למשל, הם שדה. אחת מהתכונות הללו היא שקיים איבר "אדיש" לחיבור, כלומר אם תחבר את אותו איבר לכל איבר אחר, תקבל את האיבר השני. תכונה אחרת היא שלכל איבר בשדה מלבד האיבר האדיש לחיבור קיים איבר הופכי, כלומר איבר שאם תכפול בו את האיבר המקורי תקבל 1 (שמוגדר להיות איבר אדיש לכפל). פעולת החילוק היא בעצם כפל בהופכי. כאמור, ההגדרה של השדה מונעת מראש אפשרות של חלוקה באפס.
למה אי אפשר "להגמיש" את ההגדרה? אפשר, אבל אז נקבל מבנה אחר, וסביר מאוד להניח שרוב המשפטים המוכרים לנו לא יהיו נכונים, ולמעשה נצטרך להוכיח המון דברים מחדש. בנוסף, סביר להניח שהמבנה החדש שנקבל, גם אם יהיה תקין מבחינה מתמטית, לא יהיה שימושי במיוחד במציאות.
בקיצור, במתמטיקה הכול מתחיל מהגדרות. אי-אפשר "להוכיח" שקיים כזה דבר, אפס חלקי אפס, מפני שהוא בכלל לא מוגדר במערכת הנוכחית. אפשר לשנות את ההגדרה, אבל יש לזה השלכות די קשות, יחסית למשהו שלא נראה מעניין במיוחד.
מאמר שמסביר למה לא ניתן לחלק באפס (מתוך פורום מתמטיקה בתפוז):
תראה,
היה ברור לי שהוא לא רציני ושהpeer review יקטלו אותו (אגב, יקטלו אותו בין אם הוא צודק או לאו). לגבי התשובה שלך (שאגב, מאוד מובנת לי, בצורה מפתיעה, וזאת אחרי שכל המתמטיקה שלי מתמצה בקורס בפילוסופיה של המתמטיקה שכלל שדות, קבוצות וכו').
אני חושש שאולי כן "ניתן" להגמיש את ההגדרה ולקבל שינוי של כל המתמטיקה, אבל רק את החלק הלא-שימושי שלה. החלק שמתקיים בעולם המציאותי בכל מקרה לא כולל אינסוף, לא? אז אם הוא לא כולל אינסוף השדות לא בעייתיים.
ברור שאם אפס אדיש לחיבור וגם מאפס בכפל, אזי 0*(1/0) צריך להיות שווה ל0 מצד אחד, בעוד ש(1/0) הוא בעייתי לכשעצמו, ולא יכול להיות שווה ל0 נוליטי או מה שהוא לא קורא לו.
אבל מה אם הוא היה הולך ומפתח את כל הנוסחאות מכאן ואילך? האם היה שינוי תפישתי? ככל הנראה כן.
קשה לי לתת ניתוח מדוייק יותר בלי לדעת מהן ההגדרות המדוייקות שלו (או של כל אחד אחר, לצורך העניין, ואני ודאי לא מתיימר להיות בר-סמכא של ממש), אבל רק לצורך הדוגמא:
אפשר להוכיח די בקלות שאפס כפול כל מספר שווה לאפס (זו לא הגדרה, אלא משפט). מצד שני, אילו היה לאפס מספר הופכי, המכפלה שלו ושל אפס הייתה חייבת להיות 1 — כבר הגענו לסתירה. אם ב"חלוקה באפס" הוא מתכוון למשהו אחר, שאינו כפל בהופכי, הרי שהוא צריך להגדיר את פעולת החילוק, וזה כבר שינוי רציני מאוד, ולא נראה לי שהוא יצליח לבצע אותו ולשמור את התוצאה עקבית עם החילוק המוכר (והאינטואיטיבי — שהרי המוטיבציה להגדרות הללו היא מהמציאות).
כמובן, לא הוכחתי שום דבר, אבל הבאתי את זה רק כהדגמה לכך שבשביל לבנות מערכת שבה חלוקה באפס תהיה מוגדרת לא מספיק "להגמיש" מעט את הכללים, אלא יש צורך בשינוי דרסטי. שינוי כזה כן ישנה את האריתמטיקה הרגילה (חוקי הקיבוץ, פילוג וחילוף למיניהם), ולכן אני לא חושב שזה ישים בקונטקסט מציאותי.
[כמובן, ישנם המון מבנים אלגבריים מאוד מאוד מעניינים שלא יוצרים אריתמטיקה — לפחות לא את הרגילה, אבל הם גם לא טוענים שהם כאלו בשביל להשיג כותרות בעיתון.]
אם אפס לחלק לאפס שווה למשהו פרט לאחד (למעט החריג של במ"ח) מדובר במהפכה. אני אשמח לקבל את המאמר המלא שלו עם ביקורת של מישהו שמבין את זה יותר ממני. אם אתה מעוניין לתת ביקורת אמיתית (במקום Peer Review) אני אשמח.
אפס ומספרים שליליים קשה לתפוס?
תנסה לתפוס מספרים מרוכבים או פונקציות בעלות יותר משלושה מימדים, בהצלחה! :)
Division by zero is absurd, but triviality is quite useful.
There are 3 existential types, not just 2.
1) That which exists.
2) That which does not exist.
3) That for which existence is indeterminate.
Any trivial is of the third type because “The Existence of a Trivial is Indeterminate”.
This last statement can be proved quite easily. It says that given any unique object, there is no way to determine if the object is really itself, or if it is in fact a trivial clone of itself. This is indeterminate.
One can exploit this existential indeterminacy of the trivials to make all kinds of unusual models.
But division by zero ? I dont think that this will ever work.
Huang