הצבעה לציפי לבני ושיווי משקל נאש

[ושוב פוסט תיאורטי לשבת] השאלה הגדולה שחלק ניכר מאזרחי ישראל שואל את עצמו היא למי להצביע ביום שלישי בבוקר? רוב חברי אינם בהכרח בדעה אחת עמי שצריך להצביע לתנועה הירוקה-מימד ויהי מה, גם במחיר של לא לעבור את אחוז החסימה וגם במחיר של העלאת בנימין נתניהו לשלטון. הסיבה לכך פשוטה, כל אחד מהמצביעים יודע שהקול שלו לא יגרום לכך שנתניהו לא יהיה בשלטון, אלא רק אם כלל האזרחים יתאגדו ויחלקו מידע, הם יוכלו לגרום לכך שנתניהו לא יבחר אלא ציפי לבני, שהיא לא מועמדת מושלמת על דעת כולם אבל עדיפה על נתניהו.

כשהעניין מנוסח כך, הוא מזכיר בצורה מסוימת דילמה אחרת, מתחום תורת המשחקים, שנקראת דילמת האסיר. על דילמת האסיר אין צורך להרחיב, וגם אם יש אז דילמת האסיר מוגדרת בצורה יפה בויקיפדיה, צאו, קראו ושובו בקצרה [כאן אולי המקום להעיר שדילמת הצייד גם עשויה להיות מתאימה כאן, אבל בגלל הפשטות של דילמת האסיר, העדפתי להשתמש בה כדי להסביר את העניין בצורה פשוטה]; לכן, ובפשטות גבוהה מאוד, שמאפיינת את תורת המשחקים, מהמידול שאני מציג כאן השמטתי דברים שוליים כמו אהוד ברק, אביגדור ליברמן ומרצ ונותרתי עם שלושה מועמדים בבחירות: לבני, נתניהו ו'מפלגה אחרת'

כל אחד מאזרחי ישראל יכול לבחור בין שתי חלופות (בהנחה שהשחקן הרציונאלי מעדיף את ציפי לבני על בנימין נתניהו. החלופה הראשונה היא לבחור בציפי לבני, כאשר ההצבעה היא לא רק בלבני אלא ברשימה של חדלי אישים כמו שאול מופז, רוחמה אברהם, צחי הנגבי, מאיר שטרית ואלי אפללו. מנגד ההצבעה ל'מפלגה אחרת' (עבור כל שחקן בנפרד) מגלמת תועלת של קרבה אידיאולוגית; המפלגה ה'אחרת' קרובה הרבה יותר להשקפתו של המצביע ומכילה רשימה איכותית יותר, תהא ה'מפלגה האחרת' אשר תהיה.

עכשיו, לעניין התועלות.

המצביע הרציונאלי היה מפיק תועלת של 100 מאי בחירתו של נתניהו ובחירתה של לבני תחתיו; מנגד, בחירתו של נתניהו לראשות הממשלה תגרום למצביע הרציונאלי נזק של 100; אם לעומת זאת, המפלגה שהרציונאלי יצביע עבורה תכנס לקואליציה ונתניהו יהיה ראש ממשלה, התועלת של המצביע תהיה 25 ואם המפלגה תכנס לקואליציה ולבני תהיה ראש ממשלה, התועלת תהיה 75. [ההנחה כאן היא שכל מפלגה רציונאלית תרצה להכנס לקואליציה, שוב, הפשטה].

מטריצה פשוטה:

נשאר לרגע בתחום התיאורטי למדי; אם יש דבר אחד שניתן ללמוד מדילמת האסיר היא כי למרות שאין באפשרותנו לבחור את השורה בה אנו נמצאים (לבני או נתניהו), אנו בהחלט יכולים לבחור את הטור שלנו. כלומר, אם ממוצע התועלות שלנו בטור ב' (מפלגה לא בקואליציה) הוא אפס, בטור א' (מפלגה בקואליציה) אנו יכולים לראות כי ממוצע התועלות הוא +100 50, לכן הבחירה שלנו ברורה, בכל מקרה נעדיף להיות בטור א' ולהשקיע שם את הקול שלנו. [שוב, התועלות כאן ממוצעות ומופשטות לעיפא, המטרה היא לא להתווכח על סיכויים].

וכאן מגיע עניין פערי המידע. עד לשלב הזה במשחק לא היתה לנו יכולת לדעת מי ראש הממשלה שלנו ולא היינו יכולים להתערב בכניסת המפלגה לקואליציה, והנה מגיעים סקרי סוף השבוע שאומרים לנו כי הפערים בין המועמדים שלנו הצטמצמו. כעת, כשאנו יודעים שהפעולה שלנו יכולה לשנות לא מעט, מה אנו עושים? האם כל הצבעה שלנו ל'מפלגה אחרת' מחטיאה למטרה וגורמת לכך שלבני לא תהיה ראש ממשלה, או שמא לבני תהיה ראש ממשלה גם בלי ההצבעה האישית שלנו?

כאן בדיוק נכנסת הדילמה המשותפת; לו כלל אזרחי ישראל (הרציונאליים) היו יכולים להתאגד ולקבוע כי הם בוחרים בציפי לבני, הרי במקרה כזה ציפי לבני היתה נבחרת והאזרח הרציונאלי (הפרטי) היה מפיק תועלת של 100. אולם, בידיעה שכלל אזרחי ישראל הולכים לבחור בלבני, הוא היה מבין שעדיף לו להצביע עבור 'מפלגה אחרת' כיוון שלבני בכל מקרה תהיה ראש ממשלה, ועדיף לו למקסם את התועלות שלו..

במקביל, לו היה יודע ששאר האזרחים הרציונאליים פועלים כך בדיוק, היה מבין שגם לו היה בוחר בלבני, זו לא תהיה ראש ממשלה. לכן, הוא היה מעדיף לבחור ב'מפלגה אחרת', כדי שגם אם נתניהו יהיה ראש ממשלה, עדיין 'מפלגה אחרת' תהיה שם כדי לאזן אותו.

נקודה זו נקראת 'שיווי המשקל של נאש' והיא מוגדרת כאסטרטגיית הפעולה שלו ידע השחקן הרציונאלי ששאר השחקנים יבחרו באסטרטגיה בה הם בחרו, עדיין היה מעדיף את האסטרטגיה הזו.

כעת, כשהבנו שהצבעה ל'מפלגה אחרת' נמצאת בנקודת שיווי המשקל של נאש, ניתן להסתכל על כמה מהמהלכים הלא-רציונאליים של חלק מהמפלגות לעת עתה: מספר מפלגות, ובינן מרצ והירוקים. הירוקים מתעקשים להציג את הסכם העודפים שלהם עם קדימה ולהבהיר שהקולות העודפים בירוקים עשויים ללכת לקדימה (ולהפך). מרצ, מנגד, בוחרת לתקוף את קדימה ולהבהיר כי הצבעה לקדימה אינה הצבעה פמיניסטית ואינה עומדת בקנה אחד עם ערכי התנועה, אולם מנגד מדליפה באמצעות 'מקורבים' מכתבים בהם מובהר כי מרצ מתחייבת לתמוך אך ורק בלבני על מנת להקים ממשלה.

בהנחה ששתי המפלגות היו בעלות אלקטורט זהה, האסטרטגיה [סיגנלינג] של מי מהמפלגות היתה מוצדקת יותר? הירוקים מציגים אסטרטגיה מנצחת כאשר הם טוענים שהקול אינו אבוד; כל קול שלא יעביר אותם את אחוז החסימה (או יכניס אותם לקואליציה) הוא קול שילך ללבני כראש הממשלה [כמובן, תוך התעלמות מהעובדה שאם לא יעברו את מכסת המנדטים, לא יוכלו להעביר את הקולות העודפים ללבני]; מרצ, לפחות באסטרטגיה הפומבית שלה, מנסה לדחוף כמה שיותר אנשים לשנות את שיווי המשקל של נאש.

מרצ מבהירה כי היא לא תשב עם נתניהו בממשלה, כך שמבחינת המצביע הרציונאלי, האפשרות של 'מפלגה אחרת' בקואליציה יכול להתקיים רק אם לבני תהיה ראש ממשלה. במצב כזה, ותוך שהשחקן יודע שהוא לא יכול להגיע למשבצת בה התועלת היא מינוס 75, אין לו מנוס אלא להצביע ללבני. המצביע ה'רציונאלי' לא יכול אלא להבין מהתנהגות "בעל הבית השתגע" של מרצ שאין לה כל כוונה לשבת בממשלה אחת עם נתניהו, ולכן השחקן חייב  לעשות ככל יכולתו על מנת למנוע מנתניהו הצבעה.

כאשר יש רק שתי אפשרויות הצבעה (מרצ או קדימה) העניין פשוט, אבל כאשר מתווסף טור נוסף, של עוד מפלגות, אז חישוב התועלות שונה לגמרי.

מה אתם הולכים לעשות?

33 תגובות ל-“הצבעה לציפי לבני ושיווי משקל נאש

  1. אני אצביע למפלגה שתמנע מבלוגרים לכתוב פוסטים פוליטיים (לא מכוון לפוסט הזה ספציפית או אליך).

  2. יהונתן, גם אתה נפלת בפח הזה?

    קולות למפלגה שלא עוברת את אחוז החסימה לא נספרים בשום צורה – כאילו לא הצבעת. הם לא עוברים בהסכם עודפים ואין להם שום משמעות בחלוקת המנדטים.

    ראה וויקיפדיה בנושא.

  3. אני מתנצל, פספסתי את ההערה בסוגריים.

    אגב, איפה הירוקים באמת אמרו שאם הם לא יעברו את אחוז החסימה הקולות יעברו לקדימה?

  4. הבעיה בבסיסה מעניינת, אבל בכל זאת:
    1. הנחת הנחות מאוד חזקות ומפשטות
    2. אנשים לא ראציונאליים
    3. (בהמשך ל 2) אנשים לא ממש חושבים תורת המשחקים
    4. במיוחד כאשר הבעיה גדולה מ-2
    5. בכל מקרה בסוף הם יצביעו ליברמן
    6. (בגלל שיש לי OCD בזעיר אנפין): אין צורך לשקלל תועלות, טור א' הוא אסטרטגיה דומיננטית משום שבכל מצב אעדיף להיות בו. (-75 עדיף על -100 ו- 175 עדיף על 100)
    ושתי הערות נוספות, לא ממש קשורות.
    א. לדעתי יש משהו מאוד בעייתי בעניין הסכמי העודפים. אם מסתכלים על זה בצורה מעוותת, זה כאילו שבנאדם הלך לקלפי פעמיים.
    ב. מעניין לחשוב על "בעיית סקרים" והעדינות שבאיזון התמונה המייצגת מהם. למפלגות מחאה זה נהדר, כי ככל שהם עוברים את אחוז החסימה ביותר קולות הם רק מתחזקים, אפילו בקצב מעריכי. למפלגות אחרות, סקרים חיוביים עלולים דווקא להזיק. עכשיו נניח שאני ביבי, וערוץ X אומר לי "תקבע אתה את המספרים שנציג בתור סקר" (לגבי כל המפלגות), באיזה מספרים עליי לבחור?

  5. אלון,
    תודה על הביקורת העניינית (סוף סוף).

    1, 2 ו3 ידועים (גם 4).

    אני חושב שצריך לשקול תועלות וזה מהלך שכולם צריכים לעשות. אני חושש שהעובדה שלא מצביעים טוב מספיק יכולה לפגוע בנו ושצריך לחשוב מה קורה עם המצביעים.

    אולי צריך פשוט לאסור על סקרים?

  6. אל תלכלך, גם פה תרמתי: http://www.2jk.org/praxis/?p=1824#comments :-)

    אני חושב שהבעיה (המלאה) היא בעיה שאם לך ולי קשה לשקול אותה בלי הנחות חזקות, אז למסעודה משדרות אחת כמה וכמה.

    לגבי סקרים אין לי תשובה, כי אני חושב שזה דינמי כרגע. האיסור על פרסום הסקרים כרגע נובע ממה שקרה לפני 4-5 חודשים, וזאת הפעם הראשונה שלו בפעולה. ימים יגידו וכו'.

    מה מחשבותייך לעניין העודפים?

  7. הסוף סוף זה שביקורת של מישהו עניינית, ולא שאתה בא…

    לגבי העודפים? זה מצחיק לפעמים כמה שאין קשר בין המפלגות החותמות; אני הייתי פשוט חושב על דרך טובה יותר לחלוקת מנדטים (כמו מנדטים דיפרנציאליים) במקום לפי הסכמי עודפים. יש לך הצעות?

  8. אתה רומז שבגלל שלא הסכמתי עם דעתך לגבי הפרקליטה ופשעי המלחמה (מרכאות או לא מרכאות) הביקורת לא עניינית? :)

    אותו רעיון כמו שלך. הכי פשוט ואלגנטי.
    מה שכן, אני חושב שצריך לחייב לכל מפלגה לפרסם בבירור את הסכמי העודפים שלה (בהנחה שהשיטה הבעייתית הזאת תשאר)

  9. לא,
    אני רומז ששאר הטוקבקיסטים לא ממש כתבו ביקורת עניינית על הפוסט ולא תרמו לשיחה.

    :)

    וכיום חייבים בכל מקרה לפרסם הסכמי עודפים.

  10. אלוהים, זה מזכיר לי את הסיפור על התוחלות האינסופיות שלמדנו פעם במסגרת החישובים של תורת המשחקים. השאלה היא "האם לקיים מצוות לפי הדת" ובודקים אותה בהנחה אם יש או אין אלוהים. כמובן שהתוצאה היא שרצוי לקיים מצוות כי אם יש אלוהים אזי התועלת היא אינסופית (גן עדן) אם קיימת והיא מינוס אינסופית אם לא קיימת מצוות (תסבול לעד בגהנום). בסיכומו של עניין זה גובר על המצב השני בו אין אלוהים וקיימת מצוות והפסדת תועלת סופית (זמן חייך) והרווח בו לא קיימת ואין אלוהים (שוב זמן חייך)[אם לא הבנת חפש בויקפדיה בטוחני שתמצא]

    בסוף השיעור צחקנו צחוק גדול. גם הדתיים.

    אדוני הנחמד, מתי אתה מתחיל להניח תפילין ולשמור שבת? כי לשיטתך זאת הדרך החכמה….

  11. תחת חופש המידע ניתן לבקש מהכנסת את האנליטיקס של הדף הזה?
    מתאר לעצמי שבמקרה הטוב 10% מציבור הבוחרים נכנסו לשם

    (התכוונתי במצע הבחירות של כל מפלגה ומפלגה, כסעיף ככל הסעיפים)

  12. אחוז החסימה הגבוה מעוות את חישובי המנדטים והבעיה היא שלמפלגות גדולות הן שום סיבה לתקן את זה. בבחירות הקודמות שבהן גם הירוקים וגם עלה ירוק היו לא מאוד רחוקים מאחוז החסימה, הלכו לאיבוד 5.8% מהקולות הכשרים.

    לדעתי צריך להפעיל את הסכמי העודפים יותר מוקדם ולהעביר את הקולות מהמםלגות הקטנות שלא עברו את אחוז החסימה לגדולות מהן שהיו קשורות בהסכם עודפים איתן. בבחירות הקודמות, אם אני לא טועה, היה לירוקים הסכם עודפים עם חץ ואם הקולות של חץ היו מצורפים לירוקים הם היו עוברים את אחוז החסימה.

  13. בובו,
    אתה מדבר על התיאורמה של פסקל, והיא שגויה כי יש מספר אלוהימים.

    אלון,
    אני בספק אם יש שם אנאליטיקס, תנסה.

    מרק,
    אם אני לא טועה, חץ קיבלה 6,000 קולות, זה בקושי היה מספיק כדי לסייע לעלה ירוק לעבור את אחוז החסימה. אני חושב שאפשר למצוא אבל מודל יותר יעיל, כמו לאסוף את כל הקולות שלא עברו את אחוז החסימה ולנהל מכרז הפוך על הסכמים כדי כן לעבור אותו.

  14. היה לחץ הסכם עודפים עם הירוקים שלהם היה חסר משהו כמו 3000 קולות.

    אולי זו השעה… איך אתה מציע שיתנהל מכרז כזה?

  15. תראה,
    בוא נניח שכל המנדטים העודפים הם 6 מנדטים. והם אמורים להתחלק על 6 מפלגות שונות שקיבלו ככה: 0.5, 0.5, 1, 1, 1.5, 1.5

    עכשיו, אף אחת מהמפלגות לא תהיה זכאית להכניס כיום אף ח"כ, למרות שארבע מתוכן יכולות להכניס יותר מאחד.

    עכשיו, האינטרס של אחוז חסימה הוא לא להכניס מפלגות סתם ככה; לכן, כל אחת מהמפלגות תוכל לבחור אחת משתיים: או להתחבר עם עוד מפלגה כדי לעבור את אחוז החסימה (נניח, 1.5 + 0.5) על בסיס קרבה אידיאולוגית, או לבחור למי להעביר את הקולות שלה (תוך קבלה מוחלטת של הרשימה והצגה פומבית של כל הסכם להטבות).

    האינטרסים? אותה מפלגה תוכל לקבל מימון מפלגות בכנסת היוצאת על סמך המנדטים שכבר היו לה, או שתוכל להתחבר בעתיד למפלגות קרובות מספיק.

    הבעיה? סחטנות. אם לי יש מנדט וחצי ואני יכול לקבוע אם ציפי או ביבי ירכיבו את הממשלה כי יש בינהם הבדל של שני מנדטים, אני מאוד סחטן (וזה טוב,כי זה דווקא מחזק את המפלגות הקטנות בצורה אינטרסנטית מובהקת: אם אני ירוק, ואני יודע שאני יכול להיות זה שגורם ללבני להיות ירוקה אם היא תהיה ראש ממשלה, הצלחתי).

  16. הסכם עודפים תופס רק אם שתי המפלגות נכנסות לכנסת. אם מפלגות א' וב' מתקשרות בהסכם עודפים ומפלגה א' אינה עוברת בזכות עצמה את הרף, היא אינה יכולה לעבור אותו בכדי להיכנס ועודפיה אינם עוברים למפלגה השנייה.

    רק אחרי שספרו את כל הקולות הכשרים, וניפו את אלה שלא עברו את אחוז החסימה, מחלקים את סך הקולות שנשארו (כלומר קולות המפלגות שעברו) ל-120, ואז מתחילים לשחק בעודפים. אילולי היה כך, היתה עלה ירוק נכנסת ב-2003 והירוקים ב-2006 (איכס)

  17. אני בכל זאת אלך על ציפי לבני.

    כי אני לא חושב שכל עם ישראל צריך להתאחד בשביל ה"נס". בשבועות האחרונים הסקרים מראים שחלקו של העם עושה את זה כבר. ועוד קצת וזה יספיק :)

  18. מעניין. הניתוח שלך מרגיש לי לא נכון, אבל לא התעמקתי. אנסה לחזור לזה אח"כ.

    אני הייתי ממדל באופן שונה: נניח לצורך העניין שאחוז החסימה שווה לשני קולות, ושאנחנו מסתכלים על שני שחקנים, שהם היחידים ששוקלים להצביע לתי"מ. אם שני השחקנים מצביעים לליבני, אז ליבני נבחרת, והרווח של שניהם הוא 100. אם שניהם מצביעים לתי"מ אז תי"מ עוברת את אחוז החסימה,נכנסת לכנסת ונכנסת לקואליציה של ליבני, והרווח של שניהם הוא 175. אבל אם אחד מהם מצביע ללבני ואחד לתי"מ אז תי"מ לא עוברת את אחוז החסימה, וביבי נבחר, והרווח של שניהם הוא מינוס 100. במידול הזה רואים שיש להם אסטרטגיה מצויינת — שניהם יצביעו תי"מ. אבל אם הם לא יכולים לתקשר (כלומר לדעת שהשני יצביע תי"מ), אז אתה רואה שמתקבל בדיוק האפקט שרואים בפועל, שבו מעבר מושלם של מידע היה מציל אותנו. אני לא מכיר שם לתופעה הזאת, אבל אני בטוח שהוא קיים. ה"פרדוקס" של ארוו (arrow) קצת דומה, אבל לא ממש. (ראה בוויקיפדיה).

    אם להכליל קצת את המידול כדי שיתאים למצב בפועל: יש x שחקנים שאוהבים את תי"מ, וכל שחקן בוחר להצביע לתי"מ או ללבני. אם y מהם בוחרים להצביע לתי"מ, אז אם y>z (כאשר z מייצג את אחוז החסימה) אז הרווח של כולם יהיה 100+y, אבל אם w<y<z אז כולם מרוויחים מינוס 100, ואם yy). שים לב שאם הם יודעים ש-xy.

    מליון דרכמות למי שמוצא את השם של התופעה הזאת.

  19. אה, נדפקה לי ההודעה בגלל הסימני גדול-מ וקטן-מ. אני אנסה שוב את החלק שמתחיל ב-"אם להכליל קצת":

    אם להכליל קצת את המידול כדי שיתאים למצב בפועל: יש x שחקנים שאוהבים את תי"מ, וכל שחקן בוחר להצביע לתי"מ או ללבני. אם y מהם בוחרים להצביע לתי"מ, אז אם y>z (כאשר z מייצג את אחוז החסימה) אז הרווח של כולם יהיה 100+y, אבל אם w<y<z אז כולם מרוויחים מינוס 100, ואם y<w אז הרווח של כולם הוא 100. (שים לב ש-w מייצג את מס' הקולות שיכולים להתבזבז ושלבני עדיין תהיה רה"מ).

    כלומר, יש שלושה תחומים: התחום התחתון בו לא מתבזבזים יותר מדי קולות, ותי"מ לא עוברת את אחוז החסימה ולבני היא רה"מ, התחוםהאמצעי בו תי"מ לא עוברת את אחוז החסימה אבל מתבזבזים יותר מדי קולות וביבי הוא רה"מ, והתחום העליון בו תי"מ עוברת את אחוז החסימה ולבני רה"מ, ובו הרווח גדול יותר ככל שיותר מאוהבי-תי"מ מצביעים לתי"מ.

    זאת לדעתי הדרך הנכונה למדלאת המשחק שלנו. שכמובן, הוא לא "משחק" במובן הקלסי של תורת המשחקים, כי הוא טריוויאלי אילולא האילוץ שהשחקנים לא יכולים לתקשר זה עם זה, ולא יכולים לדעת כמה מהם יש (כלומר, הם לא יודעים מהו x, ואם בכלל x>y). שים לב שאם הם יודעים ש-x<y ושכולם יודעים את זה וכולם יודעים שכולם יודעים וכו', אז האסטרטגיה תהיה שכולם יצביעו לתי"מ. אבל הם לא יודעים אם x>y.

    מליון דרכמות למי שמוצא את השם של התופעה הזאת.

  20. אני דווקא ראיתי פה יותר קשר למשפט אי האפשרות של ארו מאשר לדילמת האסיר, כלומר אם אתה מציב את לבני מול ביבי אז יותר אנשים מעדיפים את לבני, אבל בגלל שיטת הבחירה ההעדפה שלהם לא תתממש. אולי אם היה סיבוב שני (או דיקטטורה! דה ליברמן!)

  21. לא מסכים עם הקביעה שלהצביע למפלגה שתשב באופוזיציה זה 0 תועלת

  22. דרור,
    עשיתי המון הנחות במודל הזה, בין היתר להניח שכל מפלגה שתעבור את אחוז החסימה תכנס לקואליציה.

    אם אתה רוצה להתווכח על התועלת, אני מסכים איתך. אבל זה בכלל לא משנה; אם לא על העניין שמפלגה שאוטומאטית פוסלת מועמד לראשות הממשלה יוצאת בחטא (למען הסר ספק, אני נגד ביבי)

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *